武忠祥每日一题

每日一题

320

$\int_0^1x(1-x^4)^\frac{3}{2}dx=$

带根号想到三角换元

令x^2等于sint

2xdx=costdt，刚好和x换了

$\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}cos^4tdt$

点火公式

$\frac{3\pi}{32}$

319

$\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}dx=$

做三角代换

x-1=sint

$\int^\frac{\pi}{2} _\frac{-\pi}{2}(1+sint)cos^2tdt$

利用奇偶性，后式为奇函数，对称区间积分为0

前式偶函数，变成2倍，用点火公式

$\frac{\pi}{2}$

318

$\int^{\pi^2}_0\sqrt{x}cos\sqrt{x}dx=$

幂函数和三角函数想到分部

令根号x等于t,dx=2tdt

用公式

$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int^\pi_0\sin xdx$

$2\int^{\pi}_0t^2costdt=\\2\int^{\pi}_0t^2dsint=\\2t^2sint|^{\pi}_0-4\int_0^\pi tsintdt=\\-2\pi*2=\\-4\pi$

311

$\int \frac{\cos2x}{\cos^2x(1+\sin^2x)}dx=$

$\int \frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x+\sin^2x\cos^2x}dx\\\\ 三角式记作R(sinx,cos)\\ \\1.-sinx,cosx=-R,凑dcosx\\2. sinx,cosx=-R,凑d sinx\\3. -sinx,-cosx=R,凑dtanx$

$满足3式\\ \int\frac{1-tan^2x}{1+2tan^x}dtanx \\ sec^2x=1+tan^2x\\ \int\frac{1-u^2}{1+2u^2}du\\ \frac{1}{2}\int\frac{2-2u^2-1+1}{1+2u^2}du\\ \frac{tanx}{2}+\frac{3}{2\sqrt2}arctan(\sqrt2tanx)+C$

310

$\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\\ \int -\frac{1}{2}\frac{-sinx+cosx-sinx-cosx}{sinx+cox}dx\\ \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\ln |sinx+cosx|+ C$

306

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y^4}的通解是$

判断非常规3种类型

1.x与y对调

$\frac{dx}{dy}=\frac{x+y^4}{y}$

2.改写为标准方程

$\frac{dx}{dy}-x\frac{1}{y}={y^3}$

y’+p(x)y=q(x)

$x=e^{\int-p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+c]$

$x=e^{\int \frac{1}{y}dx}[\int y^3e^{\int -\frac{1}{y}dx}dx+c]\\ x=e^{lny}\int y^3\frac{1}{y}dx+c\\ x=y[\frac{1}{3}y^3+c]\\$

此方法还不行时用第二种方法变量代换，化成学过的类型

305

$方程(y+\sqrt{ x^2+y^2}）dx-xdy=0满足条件y|_{x=1}=0的特解是$

1.判断类型，是齐次方程

$(\frac{y}{x}-\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2})-\frac{y}{x}=0\\ 令\frac{y}{x}=u,则y=xu,\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\\ (u+\sqrt{1+u^2})-u-x\frac{du}{dx}=0\\ \frac{dx}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}du\\ lnx+lnc=ln(u+\sqrt{1+u^2})\\ cx=u+\sqrt{1+u^2}\\ \frac{y}{x}+\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}=cx\\ c=1\\ \frac{y}{x}+\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}-x=0$

304

$方程y'=1+x+y^2+xy^2的通解为$

1.判断为变量可分离

$\frac{dy}{dx}=(1+x)(1+y^2)\\ \frac{dy}{1+y^2}=(1+x)dx\\ arctany=\frac{1}{2}(1+x)^2+c\\$

303

$方程(xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0的通解为$

1.判断为变量可分离方程

$\frac{y}{y^2+1}dy=\frac{x}{x^2-1}dx\\ \frac{1}{2}ln(y^2+1)=\frac{1}{2}ln(x^2-1)+c\\ y^2+1=\pm e^c(x^2-1)\\ 将\pm e^c 替换成c，同时c=0仍满足题意\\ y^2+1=c(x^2+1),c\in R$

302

$一个半径r的球形贮水箱注满了水，\\如果从箱中把水从顶部全部抽出，需要做的功为$

$dF=g\pi y^2dx\\ =g\pi (r^2-x^2)dx\\ dW=g\pi (r^2-x^2)(r-x)dx\\利用x是奇函数积分为0化简\\ 2\pi rg\int_0^r(r^2-x^2)dx=\frac{4}{3}\pi gr$

301

$某水库的闸门为等腰梯形。\\它的两条底边各长为10m和6m,高为20m,\\较长的嗲百年与水面相齐,则闸门的一侧所受水的压力为$

223

下列积分发散的是()

$\int^{+\infty}_{0}xe^{-x}dx$

$\int^{+\infty}_{0}xe^{-x^2}dx$

$\int^{+\infty}_{0}\frac{\arctan x}{1+x^2}dx$

$\int^{+\infty}_{0}\frac{x}{1+x^2}dx$

1.定义法

2.p积分

2.比较判别法，(主要和p积分比)

$\int^{+\infty}_{a}\frac{dx}{x^p}dx(a>0),\begin{cases} p>1收 \\ p<=1发 \end{cases}$

222

$设函数f(x)=\int^1_0|t(t-x)|dt(0<x<1),求f(x)的极值、单调区间及曲线y=f(x)的凹凸区间$

1.从绝对值分区间*

2.求原函数*

3.求导求二阶导

221

$设x=x(t)由方程\sin-\int^{x-t}_1e^{-u^2}du=0所确定，试求\frac{d^2x}{dt^2}|_{t=0}的值$

1.先根据t=0看另一半x等于什么

2.求导，上限带进去，上限求导、

3.再次求导，带入一阶导，得二阶导

隐函数求导和变上限积分求导综合到一起

220

$设x\ge-1,则\int^x_{-1}(1-|t|)dt=$

1.分为-1<=x<=0

2.分为-1到0和0到x(上限x>=0,要分成两部分)

219